Mini-course: Introduction to Percolation Theory and related Processes

Thời gian: 09:30:02/05/2019 đến 11:45:03/05/2019

Địa điểm: C2-714, VIASM

Báo cáo viên: PGS. Pierre Nolin – Đại học Hong Kong

Tóm tắt:

In this mini-course, we give a detailed introduction to percolation theory. Bernoulli percolation is obtained by deleting at random, independently, the edges (or the vertices) of a given lattice. It is arguably one of the simplest models from statistical mechanics that displays a phase transition, i.e. a drastic change of macroscopic behavior at a certain critical threshold. We present the main tools and techniques used to study percolation, as well as the most important results.

We then discuss forest fire (or epidemics) processes, which are models of "activated media" first considered in statistical physics. On a two-dimensional lattice, all vertices are initially vacant, and then become occupied at some given (fixed) rate 1. If an occupied vertex is hit by lightning, which occurs at a very small rate, all the occupied vertices connected to it burn, i.e. become vacant. Many questions remain open about the long-time behavior of such processes. In particular, we want to explain why the "near-critical" regime of Bernoulli percolation arises naturally.

---------------------------

Lý thuyết thấm (percolation) mô tả tính chất tiệm cận của các cụm liên thông trong một đồ thị ngẫu nhiên. Lý thuyết được ra đời vào năm 1957 khi Broadbent và Hammersley tìm cách trả lời cho câu hỏi sau: Đổ chất lỏng lên trên một vật liệu xốp, liệu chất lỏng này có thể len lỏi thông qua các lỗ trống trong vật liệu để đi xuống đến đáy không? Câu hỏi vật lý này được mô hình hoá toán học bằng một mạng ba chiều gồm các đỉnh được kết nối với nhau một các độc lập và với cùng xác suất p nào đó. Khi đó, ta phải xác định xem với mỗi p cho trước và với một số đủ lớn các đỉnh thì xác suất tồn tại một đường đi từ trên xuống dưới là bao nhiêu?

Ngày nay lý thuyết thấm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu sôi động nhất của lý thuyết xác suất và lý thuyết vật lý thống kê. Một trong những kết quả đẹp nhất của lý thuyết này là giả thuyết của Oded Schramm về việc dáng điệu tiệm cận của một hệ lớn trong không gian 2 chiều có thể được mô tả qua tiến hoá Schramm-Loewer. Một trường hợp đặc biệt của giả thuyết này đã được chứng minh bởi Smirnov năm 2001 và nó đã góp phần mang lại cho ông giải thưởng Field năm 2010.

Biography: Pierre Nolin is an Associate-Professor at City University of Hong Kong. He received his PhD from Université Paris-Sud 11 and École Normale Supérieure in 2008. Before moving to Hong Kong in 2017, he worked as an instructor and PIRE fellow at the Courant Institute (NYU), and then as an assistant professor at ETH Zürich. His research is focused on probability theory and stochastic processes, in connection with questions originating from statistical mechanics. He is particularly interested in lattice models such as the Ising model of ferromagnetism, Bernoulli percolation, Fortuin-Kasteleyn percolation, frozen percolation, and forest fire processes.