Bài giảng đại chúng "Trật tự và hỗn loạn"
Time:
Venue/Location: Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh, Tp. Tuy Hòa, Phú Yên
Báo cáo viên: TS. Phạm Tuấn Huy, ĐH Stanford, Hoa Kỳ
Abstract: Một ý tưởng quan trọng sau nhiều kết quả trong tổ hợp nói rằng "Một hệ rời rạc lớn không thể hoàn toàn hỗn loạn", tức là trong một hệ rời rạc bất kì đủ lớn luôn tìm được một phần rất trật tự. Nguyên lí này xuất hiện ở rất nhiều hệ rời rạc khác nhau. Ví dụ, với mọi k, khi N đủ lớn, một tập bất kì gồm N/1000 các số nguyên dương nhỏ hơn N luôn chứa một cấp số cộng với độ dài k. Một ví dụ khác là, với mọi k, trong mọi mạng xã hội với N người (hai người trong mạng hoặc là bạn, hoặc không là bạn) khi N đủ lớn, luôn có thể tìm được k người đôi một là bạn, hoặc k người đôi một không là bạn. Một ví dụ khác theo cùng nguyên lí này là, với mọi k, khi N đủ lớn, trong một tập bất kì N điểm trên mặt phẳng mà không có ba điểm nào trên một đường thẳng, luôn có thể tìm được k điểm tạo thành đỉnh của một đa giác lồi.
Trong tổ hợp, tìm hiểu chính xác về kích cỡ k của phần trật tự lớn nhất có thể đảm bảo trong một hệ rời rạc bất kì với kích cỡ N là một câu hỏi quan trọng. Những hỏi này đã dẫn tới sự phát triển của nhiều phương pháp quan trọng trong tổ hợp hiện đại với nhiều ứng dụng khác nhau, và tạo ra nhiều kết nối ngạc nhiên giữa tổ hợp và lý thuyết xác suất, tin học, số học, lý thuyết ergodic, giải tích và nhiều lĩnh vực khác. Chúng ta sẽ tìm hiểu với một số điểm thú vị sau những phương pháp này và ứng dụng vào việc tìm trật tự trong hệ rời rạc lớn. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu những ứng dụng và kết nối giữa những câu hỏi này và nhiều kết quả quan trọng khác trong toán học hiện đại, như kết quả của Green-Tao về sự tồn tại của cấp số cộng với độ dài bất kì trong tập số nguyên tố.