Bài giảng đại chúng "Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả (Giới thiệu TôPô học)
Địa điểm: 702 Thư viện Tạ Quang Bửu, Trường ĐHBK HN
Báo cáo viên: GS. Nguyễn Hữu Việt Hưng (Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội)
Thời gian: 14:00 - 15:00 Chủ Nhật, 20/12/2015
Tóm tắt:
Bài này cố gắng trả lời câu hỏi: Các nhà Tôpô có bị hâm hay không? Bài viết sẽ kết thúc bằng khẳng định rằng Hồ Xuân Hương (1772–1822) chính là nhà Tôpô học đầu tiên của Việt Nam, người bằng trực cảm tuyệt vời đã phát biểu tường minh những ý tưởng táo bạo của tôpô từ hơn 200 năm trước.
Nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler (1707 - 1783) được coi là cha đẻ của ngành Tôpô học, vì ông là người đầu tiên nghiên cứu hai bài toán sau đây.
(1) Bài toán về 7 chiếc cầu:
Ở thành phố Koenigsberg, ngày nay được gọi là Kaliningrad thuộc Nga, có 7 chiếc cầu. Chúng nối hoặc là 2 bờ sông, hoặc một bờ sông và một trong hai cù lao, hoặc nối 2 cù lao đó. Từ lâu, người ta đặt câu hỏi: Liệu có thể đi một lần qua tất cả 7 chiếc cầu mà không có cầu nào phải đi qua hơn 1 lần hay không? Bài toán này tương tự như trò chơi “vẽ hình bằng một nét” của trẻ em. Không có bằng chứng nào còn lại chứng tỏ rằng Euler đã tới Koenigsberg. Tuy nhiên, năm 1735 ông đã chứng minh rằng mong muốn tìm một cách đi qua 7 chiếc cầu như trên là không thể thực hiện được.
Không cần để tâm nhiều lắm đến vị trí cụ thể của 7 chiếc cầu. Điều quan trọng nhất mà người đời sau học được từ bài toán này là như sau: Đây là một vấn đề của hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn của các yếu tố tham dự (dòng sông rộng hay hẹp; những chiếc cầu dài hay ngắn, to hay bé; các cù lao lớn nhỏ thế nào). Vấn đề chỉ phụ thuộc hình dáng và vị trí tương đối của các yếu tố.
(2) Bài toán về số mặt, số cạnh, và số đỉnh của một đa diện:
- Euler đã chứng minh định lý sau đây, thoạt nhìn tưởng như trò chơi trẻ em: Trong bất cứ đa diện lồi nào, số mặt trừ đi số cạnh cộng với số đỉnh đều bằng 2.
Hãy lấy vài ví dụ. Trong một tứ diện, số mặt m=4, số cạnh c=6, số đỉnh d=4; Ta có m – c + d = 4 – 6 + 4= 2. Trong một hình lập phương, số mặt m=6, số cạnh c=12, số đỉnh d= 8; Ta cũng có m – c + d = 6 – 12 + 8 = 2. Vì sao lại có chuyện lúc thì lấy dấu “cộng”, lúc lại lấy dấu “trừ” trong định lý trên? Xin thưa: Mặt là một yếu tố 2 chiều, đỉnh thì 0 chiều, những yếu tố chẵn chiều thì được mang dẫu cộng; còn cạnh là một yếu tố 1 chiều, tức số chiều lẻ, nên nó mang dấu trừ.
Giống như bài toán về 7 chiếc cầu, bài toán này cũng là một vấn đề hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn các yếu tố. Thật vậy, một đa diện dù bé như hạt đậu hay to như trái đất thì số mặt, số cạnh, và số đỉnh của nó cũng không thay đổi. Nhận xét trên gợi ý cho suy luận sau đây: Hãy tưởng tượng đa diện lồi được làm bằng cao su. Ta hãy thổi phồng đa diện lồi đó thành một quả bóng hình cầu. Các mặt, cạnh, và đỉnh của đa diện biến thành các mặt (cong), cạnh (cong), và đỉnh trên mặt cầu. Như thế, định lý trên của Euler về bản chất là một định lý về mặt cầu: Trong mọi cách phân mặt cầu thành các hình đa giác cong, số mặt trừ số cạnh cộng số đỉnh đều bằng 2. Hơn nữa, mọi hình thu được từ mặt cầu bằng một phép biến đổi liên tục (tương tự như co dãn màng cao su) đều nghiệm đúng định lý này.
Trong tôpô hiện đại, định lý Euler được tổng quát hoá như sau: Nếu chia bất cứ một vật thể n chiều nào thành các phần “giống như đa diện”, thì tổng số các phần với chiều chẵn trừ đi tổng số các phần với chiều lẻ luôn là một hằng số, được gọi là đặc số Euler, của vật thể đó. Như thế, mỗi vật thể đều là sự tổng hoà nhịp nhàng của hai phần âm dương, chẵn lẻ nội tại của nó, không thể thay đổi.
Hệ quả là, nếu hai vật thể có đặc số Euler khác nhau, thì chúng không thể cái này biến thành cái kia sau một phép biến đổi thuận nghịch liên tục (kiểu như co dãn cao su). Người ta nói hai vật thể đó không cùng kiểu tôpô. Bên cạnh mặt cầu đã nói ở trên, hãy lấy mặt xuyến (cái săm ôtô) làm ví dụ. Có thể phân chia cái săm bằng 2 đường (c=2), một đường cắt theo vết măng-xông, đường kia cắt dọc toàn bộ chiều dài xăm. Hai đường này cắt nhau tại một điểm duy nhất (d=1). Bị cắt hai đường đó, săm trở thành một mặt hình chữ nhật (m=1). Vậy đặc số Euler của mặt xuyến (săm) là m – c + d = 1 – 2 + 1 = 0. Như thế, mặt xuyến và mặt cầu không cùng kiểu tôpô, vì chúng có đặc số Euler khác nhau (tương ứng bằng 0 và 2). Về mặt trực giác, vì sao chúng không cùng kiểu tôpô? Lý do thật đơn giản: Mặt cầu không có lỗ nào, còn mặt xuyến có lỗ (là cái chỗ người ta vẫn chui vào để biến săm thành vật cứu sinh). Các nhà tôpô bảo mặt xuyến có 1 lỗ, nên có giống (genus) bằng 1, mặt cầu không có lỗ nào, nên có giống bằng 0. À ra thế, phải có lỗ thì giống mới không bị triệt tiêu. Các nhà tôpô thật giỏi ỡm ờ. Riemann còn chứng minh một định lý thật thâm thuý: Mọi mặt 2 chiều trơn (tức mịn màng), bị chặn (có thể giữ trong một căn phòng), và có hướng (tức là phân biệt được phía nào là ngoài da, phía nào là trong thịt) đều xác định được về mặt tôpô chỉ bằng cách đếm số lỗ trên nó. Chà chà, phải mời Picasso đến đây mới được.
Hai bài toán nói trên là những vấn đề hình học trong đó kích cỡ không quan trọng, chỉ có hình dáng và vị trí tương đối đóng vai trò quyết định. Ngành toán học nghiên cứu những vấn đề như vậy ngày nay được gọi là Tôpô học (Topology). Ngẫm cho kỹ thì chuyện kích cỡ không quan trọng đã được tạo hoá duy trì như một trong những nguyên lý hàng đầu, đóng vai trò “đảm bảo an ninh” không chỉ cho xã hội loài người, mà cho toàn bộ các giống loài trong tự nhiên. Nếu một người mua nhầm đôi giầy, chật quá hay rộng quá, tức là người ấy gặp một vấn đề về kích cỡ, thì anh ta đem đổi. Thế nhưng, nếu người ấy lấy vợ, và nếu như anh ta cũng gặp một vấn đề về kích cỡ, rồi đòi đổi, thì nguy hiểm vô cùng. Và nếu rất nhiều người sau khi lấy vợ cùng gặp vấn đề về kích cỡ như thế, đều cần phải đổi, thì xã hội chắc chắn sinh loạn. .
Bà chúa thơ nôm Hồ Xuân Hương, không nghiên cứu 7 cái cầu hay số mặt số cạnh trong đa diện, nhưng bằng một tiếp cận đầy trực cảm, đã nhận ra chuyện này từ xưa. Bà viết thật nhân văn:
“Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả
Ngắn dài khuôn khổ cũng như nhau”.
Như thế, Hồ Xuân Hương chính là nhà tôpô học đầu tiên của Việt Nam. Gần như đồng thời và độc lập với L. Euler, bà đã phát biểu tường minh quan điểm cơ bản của tôpô học. Nữ sĩ họ Hồ quả là đã khởi đầu đầy sinh khí cho đám hậu sinh làm tôpô của Việt Nam, trong đó có kẻ học trò viết bài này:
“Mát mặt anh hùng khi tắt gió
Che đầu quân tử lúc sa mưa”.
Theo được Hồ nữ sĩ quả là khó. May sao, "mỏi gối chồn chân vẫn muốn trèo".
Vậy mà lại bảo các nhà Tôpô là hâm thì nghe thế quái nào được, hở giời.