I. Chuyên đề chung cho tất cả sinh viên

Đại số tuyến tính: phân tích ma trận và một số ứng dụng

Giảng viên: TS. Trần Quang Hóa và TS. Huỳnh Đình Tuân (Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế).

Mục tiêu môn học: Môn học cung cấp một số kiến thức nâng cao về đại số tuyến tính xung quanh vấn đề phân tích ma trận.

Đối tượng học viên: sinh viên tất cả các khối ngành Toán, Tin.

Yêu cầu: học viên đã có kiến thức ban đầu về đại số tuyến tính như không gian vec tơ, ánh xạ tuyến tính, ma trận.

Đề cương tóm tắt:

Chương 1: Chéo hóa ma trận

1. Vec tơ riêng, không gian riêng, giá trị riêng
2. Đa thức đặc trưng, đa thức tối tiểu, định lý Cayley-Hamilton
3. Điều kiện chéo hóa

Chương 2: Dạng chuẩn Jordan

1. Không gian con cyclic
2. Tự đồng cấu lũy tinh và ma trận dạng chính tắc
3. Dạng chuẩn Jordan

Chương 3: Phân tích ma trận

1. Phân tích LU, phân tích Cholesky, phân tích QR
2. Phân tích Schur
3. Phân tích cực
4. Phân tích một số ma trận đặc biệt: ma trận chuẩn tắc, ma trận đối xứng

Chương 4: Chéo hóa đồng thời nhiều ma trận

1. Chéo hóa đồng thời hai ma trận
2. Chéo hóa đồng thời nhiều ma trận

Chương 5: Bài toán bảo toàn tuyến tính

1. Giới thiệu chủ đề
2. Một số bài toán bảo toàn tuyến tính cơ bản: bảo toàn hạng, bảo toàn định thức, bảo toàn chỉ số quán tính, bảo toàn numerical range…

Tài liệu tham khảo chính:

1. Garcia, S., & Horn, R. (2017). A Second Course in Linear Algebra (Cambridge Mathematical Textbooks). Cambridge: Cambridge University Press.

II. Chuyên đề cho sinh viên ngành Sư phạm Toán

Mở đầu về Tôpô đại số

Giảng viên: TS. Nguyễn Thế Cường (Trường ĐHKHTN, DHQGHN)

Mục tiêu môn học: Tô-pô đại số kết nối các vấn đề Tô-pô với Đại số. Trong khuôn khổ khóa học này, ta tìm hiểu cách đưa các bài toán Tô-pô về các bài toán đại số, đặc biệt là các bài toán đại số tuyến tính. Để làm được điều này, ta sử dụng cách tiếp cận sau. Cho một không gian Tô-pô X, ta xây dựng một đối tượng đại số H(X). Đối tượng đại số này có thể là một nhóm, một không gian véc-tơ, hay một đại số… Tương ứng giữa một không gian tô-pô với một đối tượng đại số thỏa mãn tính tự nhiên. Nghĩa là một ánh xạ liên tục f từ không gian X đến không gian Y cảm sinh một đồng cấu H(f) từ H(X) đến H(Y) sao cho phép hợp thành và ánh xạ đồng nhất được bảo toàn. Ta sử dụng tính tự nhiên để liên hệ các tính chất tô-pô với các tính chất đại số. Có rất nhiều cách xây dựng tương ứng: nhóm cơ bản, nhóm đồng luân, nhóm đồng luân ổn định, đồng điều kỳ dị, đồng điều suy rộng… Trong khóa học này, ta tập trung tìm hiểu một đối tượng duy nhất: đồng điều kỳ dị.

Đối tượng học viên: sinh viên tất cả các khối ngành Toán

Yêu cầu: học viên cần có kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và Đại số đại cương.

Đề cương tóm tắt

Chương I: Tam giác phân và đồng điều đơn hình

1. Không gian tam giác phân
2. Phức đơn hình
3. Đồng điều đơn hình

Chương II: Đại số đồng điều

1. Phạm trù và hàm tử
2. Dãy phức và dãy khớp 
3. Nhóm đồng điều

Chương III: Đồng điều kỳ dị

1. Định nghĩa đồng điều kỳ dị
2. Nhóm đồng điều tương đối
3. Định lý khoét và dãy khớp dài Mayer-Vietoris
4. Sự tương đương của đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị

Chương IV: Ứng dụng của đồng điều kỳ dị

1. Bậc của ánh xạ và phân loại mặt cầu theo số chiều
2. Định lý đường cong Jordan
3. Định lý Borsuk-Ulam
4. Định lý điểm bất động Lefschetz

Tài liệu tham khảo

1. Tô-pô đại số, Allen Hatcher

III. Chuyên đề cho sinh viên các ngành Toán học

Toán tối ưu: Từ lý thuyết đến ứng dụng thực tế

Giảng viên: TS. Hà Minh Hoàng, nhóm nghiên cứu ORLab, Trường Đại học Phenikaa

Mục tiêu môn học: Môn học cung cấp một số nội dung kiến thức từ cơ bản đến nâng cao về lý thuyết quy hoạch toán học (mathematical programming). Học viên cũng được hướng dẫn từng bước cách mô hình hóa một bài toán thực tế dưới dạng toán học và sử dụng các công cụ phần mềm để giải.

Đối tượng học viên: sinh viên tất cả các khối ngành, có kiến thức về Đại số tuyến tính và Khả năng lập trình (nhưng không bắt buộc)

Yêu cầu:

Đề cương tóm tắt:

Chương 1: Tổng quan về tối ưu hóa, vận trù học

1. Các định nghĩa, khái niệm cơ bản
2. Lịch sử hình thành của Vận trù học ở Việt Nam cũng như trên thế giới
3. Một số ứng dụng của Vận trù học, tối ưu hóa tại Việt Nam

Chương 2: Quy hoạch tuyến tính (Linear programming)

1. Các khái niệm và phương pháp giải cơ bản
2. Hướng dẫn sử dụng công cụ phần mềm

Chương 3: Quy hoạch nguyên tuyến tính (Mixed Integer Linear Programming)

1. Các khái niệm và phương pháp giải
2. Một số bài toán NP-khó: bài toán cái túi (knapsack problem), bài toán người đưa thư (traveling salesman problem, bài toán bao phủ tập hợp (set covering problem), v.v.
3. Hướng dẫn sử dụng công cụ phần mềm

Chương 4: Hướng dẫn giải một số bài toán tối ưu hóa trong thực tế

1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất
2. Bài toán tối ưu lịch phát sóng quảng cáo
3. Một số bài toán tối ưu trong quản trị chuỗi cung ứng
4. Một số bài toán tối ưu trong các ngành, lĩnh vực khác nhau (tùy theo ngành mà học viên đang theo học)
5. Bài toán tối ưu trong khoa học dữ liệu và học máy 

Tài liệu tham khảo chính:

1. M. Fischetti (2019) Introduction to Mathematical Optimization. Independently published.