TT

Họ và tên

Cơ quan công tác

Thông tin về bài giảng

Yêu cầu kiến thức đối với sinh viên và tài liệu tham khảo

1

Trần Thế Dũng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Báo cáo tập trung vào các bài toán khoảng cách Erdos--Falconer trên trường hữu hạn, bao gồm bài toán khoảng cách phân biệt, khoảng cách pinned và các mở rộng của chúng. Một số kết quả chính được trình bày gồm các chặn tốt nhất hiện nay cho bài toán khoảng cách trên trường hữu hạn, các kết quả về tập Salem, bài toán tổng--tích và bài toán khoảng cách parabol.

Ý tưởng chứng minh chủ yếu dựa trên việc chuyển bài toán khoảng cách về các bài toán liên thuộc điểm--đường hoặc điểm--mặt cầu, kết hợp với các công cụ Fourier hữu hạn, bất đẳng thức năng lượng và các ước lượng liên thuộc hình học. Ngoài ra, báo cáo cũng trình bày các kỹ thuật liên quan đến tập (r,s)-Salem, phương pháp tổng--tích và các công cụ từ lý thuyết hạn chế Fourier.

Trong giai đoạn tiếp theo, chúng tôi dự kiến nghiên cứu các phiên bản tổng quát hơn của bài toán khoảng cách khi hàm khoảng cách được thay thế bởi các hàm khác như hàm nở, đa thức chéo hoặc các hàm không suy biến. Đồng thời, hướng tới việc mở rộng bài toán sang các cấu trúc đại số tổng quát hơn như nhóm Heisenberg và các nhóm tuyến tính hữu hạn đặc biệt.

đại số, xác suất, giải tích Fourier, hình học liên thuộc giữa điểm và mặt phẳng

2

Cấn Văn Hảo

Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Title: Introduction to random graphs

Abstract:

In this lecture, we consider random graphs and the dynamics that evolve on them. Random graphs provide an effective framework for describing large and complex networks, while stochastic processes are widely used to model dynamics on such networks. We aim to review several key models of complex networks, as well as the asymptotic behavior of large random graphs and stochastic processes defined on them.

3

Võ Hoàng Hưng

Trường Đại học Quốc Tế, Đại học Quốc Gia TPHCM

Bài giảng giới thiệu bất đẳng thức Harnack từ mức cơ bản đến nâng cao, bắt đầu từ vai trò của nó trong lý thuyết phương trình elliptic và parabolic: kiểm soát nghiệm dương, nguyên lý cực đại, tính chính quy và các định lý Liouville. Phần tiếp theo trình bày trực giác hình học và ý nghĩa giải tích của bất đẳng thức Harnack thông qua các ví dụ cổ điển cho phương trình elliptic đều và phương trình phản ứng–khuếch tán. Sau đó, bài giảng đi vào các khó khăn khi mở rộng Harnack cho toán tử suy biến mạnh, đặc biệt là toán tử infinity Laplacian có thêm gradient term và không có cấu trúc biến phân. Dựa trên bài báo “Harnack inequality and principal eigentheory for general infinity Laplacian operators with gradient in RN and applications”, bài giảng sẽ giải thích cách xây dựng bất đẳng thức Harnack, ý tưởng barrier, so sánh nghiệm viscosity. Cuối cùng, bài giảng trình bày các ứng dụng nâng cao: giá trị riêng chính tổng quát, nguyên lý cực đại, tồn tại–không tồn tại–duy nhất nghiệm dương cho phương trình kiểu Fisher–KPP, phương pháp sliding và liên hệ với các định lý Liouville.

Sinh viên nên nắm các kiến thức cơ bản về giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng elliptic, nguyên lý cực đại, nghiệm yếu hoặc nghiệm viscosity và một số ví dụ đơn giản về phương trình phản ứng–khuếch tán. Tài liệu chính là bài báo của Anup Biswas và Hoang-Hung Vo, “Harnack inequality and principal eigentheory for general infinity Laplacian operators with gradient in RN and applications”, Calculus of Variations and Partial Differential Equations 61 (2022), Paper No. 122. https://link.springer.com/article/10.1007/s00526-022-02227-2

4

Nguyễn Thanh Hoàng

Đại học FPT

Bài giảng về một số khía cạnh về hình học thô của các nhóm. Cụ thể sẽ tập trung vào lớp nhóm free-by-cyclic.

5

Nguyễn Đức Khánh

Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán và Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng sẽ trình bày về hệ số Littlewood-Richardson và hệ số Littlewood-Richardson dịch chuyển, xuất hiện trong Lý thuyết biểu diễn, Tổ hợp Đại số, Giải tích Schubert. Chúng ta xem xét một giả thuyết liên hệ giữa chúng và thảo luận một số cách tiếp cận để giải quyết câu hỏi.

biết lập trình là một lợi thế

6

Trần Chiêu Minh

Đại học quốc gia Singapore, NUS

Bài giảng giới thiệu một số ý tưởng tổng quan về hiện tượng tổng-tích trong toán học và mối liên hệ của hiện tượng này với lý thuyết mô hình.

Hiện tượng tổng-tích nghiên cứu cách một tập hợp thay đổi khi xét các phép toán như cộng và nhân, qua đó phản ánh những cấu trúc ẩn bên trong tập hợp đó.

Từ góc nhìn của lý thuyết mô hình, bài giảng trình bày cách các công cụ logic có thể hỗ trợ việc phân tích những cấu trúc toán học này.

Đọc và biết một vài ý tưởng từ hiện tượng tổng tích, và về lý thuyết mô hình.

7

Lê Phương

Trường Đại học Kinh tế - Luật

Tính đơn điệu và đối xứng của nghiệm phương trình elliptic

Bài giảng này giới thiệu hai kỹ thuật hình học trong lý thuyết định tính phương trình đạo hàm riêng elliptic: Phương pháp di chuyển mặt phẳng (Method of Moving Planes) và Phương pháp trượt (Sliding Method). Học viên sẽ được tiếp cận từ các nguyên lý cực đại cơ bản đến việc áp dụng các phương pháp này để chứng minh tính đối xứng, tính đơn điệu và tính duy nhất nghiệm của các phương trình elliptic. Nội dung bài giảng không chỉ bao trùm toán tử Laplacian cổ điển mà còn mở rộng sang các toán tử phi tuyến và phi địa phương hiện đại đang được quan tâm nhiều là p-Laplacian và Laplacian phân thứ (fractional Laplacian).

Để tiếp thu tốt nhất nội dung bài giảng, sinh viên tham gia cần trang bị các kiến thức cơ bản sau:

- Giải tích cổ điển & Độ đo: Giải tích hàm cơ bản, không gian hàm liên tục, kiến thức cơ bản về tích phân Lebesgue và không gian Sobolev.

- Phương trình đạo hàm riêng (PDEs): Khái niệm về nghiệm cổ điển, nghiệm yếu (weak solution), và Nguyên lý cực đại (Maximum Principles).

Một số tài liệu tham khảo:

[1] Gilbarg, D., & Trudinger, N. S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer.

[2] Gidas, B., Ni, W. M., & Nirenberg, L. (1979). Symmetry and related properties via the maximum principle. Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209-243.

[3] Berestycki, H., & Nirenberg, L. (1991). On the method of moving planes and the sliding method. Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática - Nova Série, 22(1), 1-37.

[4] Chen, W., Li, C., & Ou, B. (2006). Classification of solutions for an integral equation.

8

Trần Minh Phương

Trường ĐH Tôn Đức Thắng

Lecture: Regularity theory for double-phase functionals: new approach

Abstract: The lack of homogeneity in non-standard growth problems gives rise to significant analytical challenges due to non-uniform ellipticity. For the classical double-phase model, Colombo and Mingione established a sharp necessary and sufficient condition that links the imbalance between the growth exponents to the H\"older regularity of the modulating coefficient. In this work, we introduce a new structural condition on the modulating coefficient, which allows degenerate or singular behavior, including discontinuities, as well as vanishing or blow-up on sets of measure zero. We hope that our approach and the ideas developed here will be useful in the study of in the study of regularity properties for more general classes of non-uniformly elliptic variational functionals.

9

Phạm Tiến Sơn

Trưởng Đại học Đà Lạt

Bài giảng trình bày mối liên hệ giữa hai lĩnh vực Tối ưu và Lý thuyết kỳ dị:

Tính ổn định của điểm cực tiểu địa phương của hàm khả vi, tính đủ của các tia và các bất đẳng thức Lojasiewicz.

Kiến thức chuẩn bị: Phép tính vi tích phân nhiều biến.

10

Nguyễn Duy Tân

ĐH Bách Khoa Hà Nội

Title: Cyclotomic Factors of Fekete Polynomials: A Representation-Theoretic Approach

Abstract: Cyclotomic polynomials play a fundamental role in algebra, number theory, and combinatorics. Hyde developed a representation-theoretic framework, based on finite abelian groups and the Mahler algebra, to explain many cyclotomic factors of necklace polynomials. More recently, the idea of using the Mahler algebra has been extended to Fekete polynomials and rational necklace functions, revealing new connections between algebraic symmetries, and cyclotomic factorization.

In this REU project, students will learn the necessary background in cyclotomic polynomials, finite abelian groups, character theory before studying Hyde's representation-theoretic approach. Using both theoretical and computational techniques, students will investigate cyclotomic factors of the Fekete polynomials F_n, with particular emphasis on the case where n is the product of two distinct primes. Students will compute examples, formulate conjectures, and attempt to prove special cases using character-theoretic methods.

Tài liệu tham khảo: T. Hyde, Cyclotomic factors of necklace polynomials, Acta Arithmetica 204 (2022), no. 4, 287--316.

11

Nguyễn Văn Tiên

National Taiwan University

Bài giảng tập trung vào việc phân tích hiện tượng hình thành điểm kỳ dị (singularity formation) trong các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến (nonlinear PDEs). Học viên sẽ được giới thiệu các cơ chế toán học cơ bản khiến các đại lượng vật lý hoặc hình học trở nên vô hạn trong một khoảng thời gian hữu hạn. Trọng tâm của bài giảng nằm ở việc phân tích cấu trúc không gian - thời gian của các điểm kỳ dị này, đồng thời đánh giá tính ổn định toán học của chúng trước các nhiễu loạn nhỏ, cho các mô hình kinh điển như hệ Keller-Segel hay phương trình Ginzburg-Landau phức.

ODEs, Linear PDEs, Functional Analysis

12

Lê Quý Thường

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội

Tên bài giảng: Thớ Milnor motivic của một kì dị phức và các bài toán liên quan

Tóm tắt: Bài giảng sẽ giới thiệu về hàm zeta motivic và thớ Milnor motivic của một kì dị phức. Các bất biến này có thể được mô tả trọn vẹn dựa trên lý thuyết tích phân motivic tương đương bất biến và giải kì dị, đồng thời chúng cho phép tạo ra cách tiếp cận mới trong nghiên cứu lý thuyết kì dị. Nhiều ví dụ cụ thể sẽ được cung cấp, chúng gợi ra các bài toán quan trọng thể hiện mối quan hệ giữa hàm zeta motivic, hàm zeta tôpô, thớ Milnor motivic, đa thức Bernstein-Sato và giả thuyết đơn đạo.

Đại số đại cương, Giải tích phức

13

Mai Quang Huy

Trường Đại học FPT

Title: An overview on Topological Data Analysis

Abstract: In this lecture, we will go through a brief overview of recent developments in the field of Topological Data Analysis. We start with some background on persistent homology, persistent homology transform, cellular sheaves, and some of their applications. We will then discuss some potential research problems that are still open.

Đại số topo cơ bản, nhưng không bắt buộc 

14

Phạm Hùng Quý

Trường Đại học FPT

Title: Introduction to perturbation problems

in commutative algebra

Abstract: Here

Here

15

Phùng Hồ Hải

Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Tên bài giảng: Đối đồng điều của nhóm lũy đơn

Tóm tắt nội dung: Giới thiệu một số nội dung đơn giản về đối đồng điều của nhóm lũy đơn (unipotent) trong một số tình huống: trường hợp các nhóm cận hữu hạn (pro-finite), trường hợp các nhóm đại số trên trường đặc số 0 và (nếu thời gian cho phép) trường hợp các nhóm đại số trên đặc số dương. Đồng điều và đối đồng điều là một trong những công cụ quan trọng của Đại số với ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, có thể kể đến một số dạng đối đồng điều nổi bật như: đồng điều kỳ dị (Tô pô), đối đồng điều De Rham, Dolbeault (Hình học thực, phức), đối đồng điều étale (Số học), v.v. 

Phương pháp chung ở đây là đưa ra những đặc trưng của các đối tượng cần nghiên cứu, thường được gọi là những bất biến, thông qua những cấu trúc tương đối đơn giản của đại số tuyến tính. Điểm mạnh của đồng điều là "tính đại số" của nó - cho phép nó "thích nghi" với mọi môi trường. 

Đối với nhóm hữu hạn, lý thuyết đối đồng điều được thúc đẩy một phần bởi bài toán kinh điển của Lý thuyết mở rộng trường: cho một trường, những nhóm hữu hạn nào có thể là nhóm Galois (của một mở rộng Galois) của trường đó? Cho đến nay, bài toán này vẫn còn là một thách thức lớn của Toán học. 

Các hiểu biết cơ bản về đại số đại cương (nhóm, vành, trường, mô đun, mở rộng trường) và đại số tuyến tính (không gian véc tơ, nhóm các tự đẳng cấu, dạng Jordan, ...). Các nội dung này đều có thể tìm thấy trong cuốn Algebra của S. Lang. 

16

Đào Hải Long

Đại học Kansas, Mỹ