- Cơ sở Toán học cho Học Máy
Giảng viên: PGS.TS. Trần Vũ Khanh (Trường Đại học Quốc tế, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh)
Mục tiêu môn học: Môn học nhằm cung cấp một số kiến thức nền tảng toán cho học máy. Đồng thời tìm hiểu các mô hình cơ bản của học máy bằng ngôn ngữ toán học.
Đối tượng học viên: sinh viên tất cả các khối ngành Toán, Tin
Yêu cầu: không
Thời gian dự kiến: 9 buổi (cả lý thuyết lẫn thực hành).
Đề cương tóm tắt
Chương 1: Giới thiệu chung
- Giới thiệu sơ lược về học máy, kiến thức cơ sở của toán học cho học máy
- Giới thiệu về Python và các gói thư viện để minh hoạ và thực hành (thực hành trên colab, sinh viên không cần cài đặt nhưng cần phải có laptop đem theo để làm bài tập và thực hành)
Chương 2: Đại số tuyến tính
- Ma trận và các phép toán trên ma trận
- Không gian vector, ánh xạ tuyến tính
- Tích vô hướng, phép chiếu và cơ sở trực chuẩn
- Định thức, ma trận khả nghịch
- Trị riêng, vector riêng
- Chéo hoá ma trận
Chương 3: Giải tích vector
- Giới thiệu về hàm nhiều biến
- Đạo hàm riêng, Gradient của hàm vector, Gradient của hàm ma trận
- Gradient trong mô hình học sâu
- Đạo hàm bậc cao
- Thuật giải gradient descent
- Bài toán tối ưu có ràng buộc và nhân tử Lagrange
Chương 4: Xác suất và phân phối xác suất
- Không gian xác suất, xác suất rời rạc, xác suất liên tục
- Công thức cộng, công thức nhân, định lý Bayes
- Thống kê mô tả và tính độc lập
- Phân phối Gauss
- Đổi biến và phép biến đổi ngược
Chương 5: Học máy cơ bản
- Giới thiệu về họ máy và các vấn đề của học máy
- Mô hình hồi quy tuyến tính và học sâu
- Làm giảm số chiều dữ liệu với kỹ thuật phân tích thành phần chính (PCA).
Tài liệu tham khảo chính: quyển sách Mathematics for Machine Learning của các tác giả Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, and Cheng Soon Ong; xuất bản bởi Cambridge University Press (sách có thể tải về miễn phí trên trang https://mml-book.github.io/).
- Nhập môn giải tích Fourier và một số ứng dụng
Giảng viên: TS. Lê Thị Như Bích (Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế)
Đối tượng: SV các ngành Toán, đã học qua các học phần Giải tích 1, Giải tích 2, Đại số tuyến tính 1
Thời gian dạy dự kiến: 5 buổi sáng dành cho lý thuyết, 3 buổi chiều dành cho thực hành (nếu có)
Giới thiệu môn học: Giải tích Fourier, được đặt tên theo nhà Toán học và vật lý Joseph Fourier, người đầu tiên giới thiệu lĩnh vực này vào thế kỷ 19, là một công cụ toán học giúp phân tích và biến đổi các hàm hay các tín hiệu số từ miền thời gian sang miền tần số. Nhờ khả năng xử lý hàm số linh hoạt, Giải tích Fourier được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực như Toán học, vật lý, kỹ thuật,.. với các bài toán liên quan đến việc xử lý tín hiệu số, xử lý hình ảnh, âm thanh, mật mã, cơ học lượng tử, giải các phương trình vi phân, đạo hàm riêng,...
Mục đích môn học: Môn học này nhằm cung cấp những khái niệm cơ bản của Giải tích Fourier, đồng thời giới thiệu một số ứng dụng của nó. SV ngoài việc được cung cấp các kiến thức mới như xấp xỉ một hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier, biến đổi Fourier một hàm số, ứng dụng biến đổi Fourier để giải các phương trình vi phân, đạo hàm riêng,.., thì còn được bổ sung và củng cố các kiến thức về Giải tích như hàm số, chuỗi số, chuỗi hàm, sự hội tụ, khái niệm trực giao... Đây là những kiến thức hữu ích và cần thiết cho mục đích học tập, nghiên cứu Toán học cũng như Toán Ứng dụng của SV sau này.
Đề cương chi tiết:
Chương 1: Chuỗi Fourier
1.1 Chuỗi lượng giác. Hệ trực giao
1.2 Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋
1.3 Chuỗi Fourier dạng phức. Biến đổi Fourier rời rạc và các tính chất
1.4 Sự hội tụ của chuỗi Fourier
1.5 Hiện tượng Gibbs
1.6 Công thức Parseval
1.7 Biến đổi Fourier rời rạc trên khoảng bất kỳ
1.8 Bài tập
Chương 2: Biến đổi Fourier
2.1 Định nghĩa và các tính chất của biến đổi Fourier
2.2 Khái niệm tích chập và tính chất
2.3 Biến đổi Fourier ngược
2.4 Biến đổi Fourier và đạo hàm
2.5 Không gian L2. Biến đổi Fourier của hàm bình phương khả tích
2.6 Công thức tổng Poisson
2.7 Bài tập
Chương 3: Một số ứng dụng của biến đổi Fourier
3.1 Tính tổng của chuỗi
3.2 Giải phương trình vi phân
3.3 Giải một số phương trình đạo hàm riêng
3.4 Bài tập
Tài liệu tham khảo:
- Russell L.Herman, An introduction to Fourier Analysis, CRC Press, Taylor and Francis Group (2017)
- Arthur L.Schoenstadt, An introduction to Fourier Analysis, Naval Postgraduate School, Lecture Notes (2005)
- Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, NXB Đại học Quốc Gia HN (2015)
Thời lượng: 5 buổi (Chương 1: 2 buổi, Chương 2: 2 buổi, Chương 3: 1 buổi)
Kết quả mong đợi: Sau khi học xong, sinh viên hiểu được biến đổi Fourier rời rạc và điều kiện hội tụ, biểu diễn được một hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, hiểu được hiện tượng Gibbs và cách áp dụng công thức Parseval để tính các chuỗi số. Sinh viên hiểu được phép biến đổi Fourier và các tính chất, áp dụng để biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược các hàm số, hiểu được khái niệm tích chập và tính chất, hiểu được phép biến đổi Fourier trên không gian L2 và công thức tổng Poisson. SV vận dụng được biến đổi Fourier để giải một số phương trình vi phân và đạo hàm riêng.
- . Nhập môn lý thuyết mô đun: Mô đun trên miền chính và Dạng chuẩn của tự đồng cấu tuyến tính
Giảng viên: TS. Phạm Văn Tuấn (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội)
Mục tiêu môn học: Môn học này là sự nối tiếp tự nhiên của học phần Đại số tuyến tính. Đại số tuyến tính nghiên cứu về các không gian vectơ và phép biến đổi tuyến tính.
- Không gian vectơ được định nghĩa trên một trường số bất kỳ. (Trường là một tập hợp mà ở trên đó ta có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và chia với các tính chất giống hệt như trên các số thực.) Tuy nhiên, trong định nghĩa tiên đề của không gian véctơ, ta không cần đến tính giao hoán của phép toán nhân của các vô hướng, và không cần đến điều kiện khả nghịch của các vô hướng khác không. Bỏ đi hai điều kiện này, trường trở thành một vành. Do đó, lý thuyết cổ điển về không gian vectơ trên trường có thể khái quát hóa thành lý thuyết của các không gian vectơ trên vành. Vì lý thuyết này có nhiều điểm khác biệt căn bản so với lý thuyết không gian vectơ trên trường, nên để tránh nhầm lẫn người ta gọi là lý thuyết mô đun. Đây là một lý thuyết cơ bản, và cốt yếu của toán học hiện đại.
- Khi học về cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính, học phần đại số tuyến tính cơ sở tập trung vào một lớp đặc biệt là các tự đồng cấu chéo hóa được. Trong trường hợp tự đồng cấu không chéo hóa được, tức là không tồn tại một cơ sở của không gian vectơ sao cho ma trận của tự đồng cấu trong cơ sở này là một ma trận chéo, ta muốn tìm kiếm một cơ sở sao cho ma trận của tự đồng cấu có dạng gần đường chéo nhất có thể. Đây là lý thuyết kinh điển về các dạng chuẩn Jordan và dạng chuẩn hữu tỉ của tự đồng cấu. Trong môn học này, chúng ta sẽ học về các dạng chuẩn này của tự đồng cấu tuyến tính, sử dụng cách tiếp cận mô đun, thông qua lý thuyết mô đun trên miền chính. Như một hệ quả, ta nhìn thấy sự tương đồng sâu sắc giữa dạng chuẩn của tự đồng cấu và cấu trúc của các nhóm abel hữu hạn.
Môn học này cung cấp cho các em các kiến thức mở đầu về lý thuyết mô đun, nhấn mạnh mối liên hệ của nó với đại số tuyến tính (không gian véc tơ và tự đồng cấu tuyến tính). Ngôn ngữ và phương pháp của lý thuyết mô đun đóng vai trò quan trọng trong nhiều ngành của toán học như lý thuyết biểu diễn nhóm, đại số giao hoán, đại số đồng điều, hình học đại số và tôpô đại số.
Đối tượng học viên: sinh viên tất cả các khối ngành Toán học.
Yêu cầu: Kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính: không gian vectơ, phép biến đổi tuyến tính, tự đồng cấu chéo hóa được.
Đề cương tóm tắt:
Chương 1. Nhắc lại (bổ sung) về không gian véc tơ
- Định nghĩa và lý thuyết cơ bản
- Ma trận của phép biến đổi tuyến tính
- Tự đồng cấu chéo hóa được
Chương 2. Giới thiệu về lý thuyết mô đun
- Định nghĩa cơ bản và ví dụ
- Đồng cấu mô đun và mô đun thương
- Hệ sinh, tổng trực tiếp, mô đun tự do
Chương 3. mô đun trên miền chính và Dạng chuẩn của tự đồng cấu tuyến tính
- mô đun trên miền chính
- Dạng chuẩn hữu tỉ
- Dạng chuẩn Jordan
Tài liệu tham khảo chính: Phần III, cuốn sách Abstract algebra của DS Dummit và RM Fooote.