Trong những dịp kỷ niệm 5 năm, 10 năm,… của tổ chức nào đó, người ta thường liệt kê những việc đã làm, những kết quả đạt được. Thực chất là cố gắng “chứng minh” rằng, việc thành lập cái tổ chức đó là cần thiết, rằng nó có ích. Vậy nên câu hỏi “Ích gì, Chương trình quốc gia phát triển Toán học?”, “Ích gì, VIASM?” , nếu không được phát biểu một cách công khai, thì chắc chắn cũng lởn vởn trong đầu không ít người, như nó đã từng được đặt lên bàn của những nhà hoạch định chính sách, của Bộ Tài chính, Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Vậy nên, khi được đề nghị làm một “bài giảng đại chúng”, tôi đã chọn đề tài “Ích gì, Toán học?”. Mà người “mách nước” cho tôi chọn đề tài đó lại không là một nhà toán học, mà là… Chế Lan Viên! Hình như ông cũng đã từng trăn trở với câu hỏi “Ích gì Thơ ca? Ích gì, Nghệ thuật?”.

Ích gì? (Chế Lan Viên – Di cảo)

Khéo rồi mất giống bò sữa, hoạ mi, ngựa đua, gà chọi…
Khó gì? Ta không giữ, không nuôi thì nó mất
Giống các nhà thơ cũng vậy
Tuyết trên non cao không ai thấy,
Giống nàng tiên, ông Bụt hiện trong mơ
Mà chả cần ai giết
Chỉ thôi yêu là nó chết
Chỉ cần bâng quơ, vu vơ đặt ra câu hỏi
Trịnh trọng cái bâng quơ, vu vơ ấy
Hỏi rằng: Ích gì họa mi?
Ích gì bò sữa?
Ích gì xạ hương?
Ích gì thi sĩ?
Ích gì cái hôn?
Ích gì giấc mơ?
Ông Bụt ích gì?....

Đến nhà thơ cũng khó trả lời những câu hỏi như “Ích gì cái hôn? Ích gì thi sĩ? Ích gì giấc mơ? Ích gì ông Bụt?”, nói chi đến những người cầm túi tiền để cân nhắc đầu tư! Nhưng, nếu cứ luôn luôn đặt ra câu hỏi “Ích gì?”, lại còn “trịnh trọng” cái câu hỏi ấy, thì đến bò sữa còn chết, huống gì họa mi và giấc mơ? Với tôi, bài thơ trên còn thiếu một câu: Ích gì, Toán học?

Đối tượng của toán học: tìm về cội nguồn

Lo lắng như Chế Lan Viên cũng phải, nhưng làm sao có thể lảng tránh câu hỏi “Ích gì”? Nhất là đối với Toán học, khi nhìn sang “bên cạnh”, hình như chưa có ai đặt ra câu hỏi: “Ích gì, Vật lý? Ích gì, Sinh học?”

Ích gì, Vật lý? Dễ trả lời thôi, vì vật lý học nghiên cứu vật chất và chuyển động của chúng trong không gian và thời gian. Có ai lại không cần những kiến thức đó?

Ích gì, Sinh học? Dễ trả lời thôi, vì sinh học nghiên cứu các cơ thể sống và tương tác của chúng với môi trường. Có ai lại không cần những kiến thức đó?

Nhưng “Ích gì, Toán học? Toán học nghiên cứu cái gì?” thì lại là câu hỏi không dễ trả lời. Để hiểu đối tượng của Toán học, phải tìm về cội nguồn của nó. Tức là phải tìm đến Cơ sở của Euclid. Trước khi cuốn Cơ sở ra đời (khoảng 300 năm trước Công nguyên), Toán học chưa phải là một khoa học độc lập. Nó “lẫn” vào Triết học và Thiên văn học.

Bắt đầu với những “định nghĩa cơ bản” về những đối tượng của Toán học, trong Cơ sở -  cuốn I, Euclid đưa ra 23 định nghĩa cơ bản. Xin nhắc lại ba trong số đó, định nghĩa thứ 1, 2 và 15:
αʹ. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
 
(1. Điểm là một cái không có kích thước)
βʹ. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.

(2. Đường là cái chỉ có chiều dài, không có chiều rộng).

ιεʹ. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ ̓ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

(15. Đường tròn là một hình phẳng chỉ gồm một đường duy nhất (gọi là chu vi), (sao cho) mọi đường thẳng xuất phát (đến chu vi) từ một điểm nằm bên trong hình đều bằng nhau)
Như vậy thì, Toán học nghiên cứu những sự vật....không hề tồn tại trong thực tế! Không thể tìm ra một “vật thể” không có kích thước, cũng như không thể tìm ra một cái gì đó không có chiều rộng. Và hiển nhiên, cái đường tròn “lý tưởng” của Toán học không thể tồn tại, người ta chỉ nhìn thấy “vành nón tròn”, “Mặt trời tròn”, hay “khuôn trăng đầy đặn” của Thuý Vân!

Vậy thì, ích gì, cái khoa học nghiên cứu những sự vật không hề tồn tại? Tìm về cội nguồn lại không cho ta câu trả lời, mà ngược lại, hình như còn làm ta bối rối thêm.

Nhưng, phải chăng những gì không tồn tại trong thực tế đều vô ích, đều cần phải biến mất sau câu hỏi “Ích gì?”

Ta thử tìm về Pablo Picasso, hoạ sĩ vĩ đại của thế kỷ 20. Người ta nhìn thấy Picasso không chỉ trong những bức tranh ông để lại, mà cả trong những vật dụng hằng ngày. Ông làm thay đổi quan niệm của chúng ta về cái đẹp. Và điều kỳ diệu đó Picasso làm được, khi đưa ta về tận cùng của bản chất sự vật.

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Một trong những đề tài thường gặp trong tranh Picasso là bò tót. Con bò tót, đấu bò gần như là biểu tượng của Tây Ban Nha. Nhưng trong tranh Picasso, bò tót tượng trưng cho sức mạnh u tối của chủ nghĩa phát xít Franco những năm 30 của thế kỷ trước. Ta hãy xem cách Picasso vẽ bò tót.

Nhưng đó hiển nhiên chưa phải là “con bò của Picasso” vì nó hoàn toàn giống như con bò ta vẫn nhìn thấy trên đấu trường.

Con bò nổi tiếng của Picasso “đơn giản”, và “xấu” hơn nhiều (hình 2).

Nhưng để đi đến con bò như bức vẽ của trẻ con đó, nhà hoạ sĩ vĩ đại đã phải trải qua một quá trình sáng tạo nhọc nhằn. Ta hãy xem cách ông đi từ con bò giống như thật đến con bò với nét vẽ trẻ con (hình 3).

Như vậy, Picasso đã đi từ “con bò tót” đến “khái niệm bò”! Con bò “khái niệm” của Picasso với bộ sừng đáng sợ, với bộ óc nhỏ như một “điểm” của Euclid, đã thể hiện đầy đủ cái sức mạnh ngu muội của chủ nghĩa phát xít những năm 30. Hơn hai ngàn năm trước, Euclid cũng bằng cách đó đi từ “mặt trời tròn”, “vành trăng tròn” đến cái “đường tròn” của toán học.

Cái không có trong thế giới thực tại lại mô tả chân thực nhất thế giới thực tại, vì nó đưa ta về với bản chất. Phải chăng đó là lý do giải thích việc các lý thuyết toán học cho ta công cụ mô tả chính xác thế giới tự nhiên. Nói như Galilei, Thượng đế viết nên tự nhiên bằng ngôn ngữ của toán học.

Nghề làm Toán

Nhiều người hỏi bác Tôm (René Thom, nhà toán học Pháp, giải thưởng Fields) về nghề làm Toán. Thấy khó nói quá, bác bèn kể chuyện săn rồng. Chuyện rằng, xưa bên Trung Quốc, có anh chàng học nghề đi săn. Anh chẳng chịu học săn hổ, săn lợn, mà lại học nghề săn Rồng! Nghề này khó lắm, phải thực tập nhiều. Bởi thế nên khi anh ta thạo nghề thì trên thế gian chẳng còn lấy một con Rồng nào! Có người hỏi: Bây giờ sống bằng nghề gì? Đáp: đi dạy nghề săn Rồng! Bác Tôm nói: làm Toán tức là đi dạy nghề săn Rồng vậy! (thảo nào chẳng có chú Rồng nào dám bén mảng đến nhà bác Tôm!).

Thế thì, làng nước đâu có cần cái anh săn Rồng ấy. Có còn Rồng nữa đâu mà học nghề săn rồng? Ấy chết, đừng vội nói thế. Rồng thì chẳng còn, nhưng có khi vẫn phải học nghề săn Rồng đấy. Nếu anh đi học nghề săn lợn thì chắc gì đã bắn được hổ? Mà học nghề săn hổ thì chắc gì bắn được voi? Nhưng nếu đã thạo nghề săn Rồng thì hổ, báo, sư tử, voi,…chắc chắn đều săn được tuốt! Này nhé, Rồng có thân như cá sấu, móng vuốt như hổ, đầu sư tử, ẩn hiện như trăn, vậy mà còn không thoát được tay anh săn Rồng, thì chẳng nói gì đến hổ, báo, voi, trăn, mà sau này có “nhân bản” ra con nào nữa, anh ta cũng chẳng sợ! Thành ra, đã định học nghề đi săn thì hãy cứ học nghề săn Rồng!

Từ cá sấu, hổ, sư tử, trăn,…người xưa “trừu tượng hóa” thành con Rồng. Cũng như thế, từ thực tiễn, người ta trừu tượng hóa thành Toán học. Câu chuyện đơn giản của bác Tôm mà thâu tóm được cả cái mạnh, và cái yếu, của Toán học là vậy.

Khi đã trừu tượng hoá để tìm đến bản chất, Toán học không phải bao giờ cũng dễ dàng trở về với thực tại, vốn là nơi xuất phát của nó. Thậm chí, người ta còn nghi ngờ cái khả năng nó có thể quay về với thực tại.

Bởi thế nên mới có người hỏi khích bác Tôm: “Mấy cái anh làm Toán gàn dở bịa ra những phương trình, vi phân, tích phân,…gì gì nữa nhỉ, thực tế làm gì có? Bọn họ chỉ ngồi chơi cái trò chơi trí tuệ đấy thôi”! Bác Tôm hỏi lại: “Này nhé, nếu anh đánh rơi cái nhẫn trong góc nhà kho bừa bộn, tối om, mà lại không có đèn, thì anh tìm nó ở đâu”? Anh chàng nọ ngạc nhiên: “Hỏi lạ nhỉ, thì chui vào đó mà tìm chứ ở đâu nữa”! Bác Tôm cười: “Thế thì có khi mấy tháng trời vẫn chưa tìm ra. Cứ như tôi thì tôi sẽ chạy ra dưới ngọn đèn sáng mà tìm vậy”! Anh chàng được mẻ cười vỡ bụng: “Mấy anh làm Toán gàn quá đi mất, biết tỏng tòng tong là nhẫn rơi trong góc nhà kho, mà lại ra dưới đèn tìm thì có mà suốt đời tìm cũng không thấy”. Ấy vậy mà cái anh đồ (Toán) gàn dở chẳng dại lắm đâu. Này nhé, anh ta cầm lấy chiếc nhẫn, đứng dưới ngọn đèn mà thả cho nó rơi. Tất nhiên là tìm lại được ngay (ở đó sáng lắm). Cứ như thế mười lần, hai mươi lần, một trăm lần,…anh ta phát hiện ra quy luật: khi rơi thì cái nhẫn nói chung chạy theo hướng nào. Bởi thế lúc vào góc nhà kho tối om, anh ta tìm ra ngay chiếc nhẫn. Mà không chỉ chiếc nhẫn ấy, nhà kho ấy, mà dù chiếc nhẫn khác, rơi ở nhà kho khác cũng tối om như vậy, thì đối với anh làm Toán, tìm nó cũng chẳng khó khăn gì!

Các phương trình, các lý thuyết Toán học cũng như ngọn đèn của bác Tôm vậy. Có nó, người ta mới “làm Toán” được, tức là mới tìm ra quy luật của sự vật. Muốn trở về được với thực tiễn thì trước tiên phải biết rời xa thực tiễn, để không còn bị che lấp bởi cái rườm rà, không bản chất của đời thường.

Ba trăm năm trước bác Tôm, Newton đã từng nói: “Không có gì gần với thực tiễn hơn là một lí thuyết đẹp!”

Ứng dụng Toán học

Nhưng cái câu hỏi “Ích gì, Toán học?” vẫn cứ lởn vởn đâu đây, nhất là khi nhìn những nhà toán học hàng đầu nghiên cứu những thứ hoàn toàn “xa rời thực tế” , mà ngay cả bản thân họ cũng chưa biết mình sẽ đi đến đâu.

Người ta thường hỏi nhà Toán học: Lí thuyết của anh ứng dụng vào đâu? Không phải lúc nào cũng có câu trả lời. Vào Thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên, nếu ai đó hỏi Apolonius rằng nghiên cứu các đường cônic (nhận được bằng cách cắt mặt nón bởi mặt phẳng) để làm gì, thì chắc Apolonius không trả lời được. Ông ta chỉ nghiên cứu các đường cônic vì thấy là chúng “đẹp”. Không chỉ Apolonius không thể trả lời, mà hơn chục thế kỉ sau cũng không ai trả lời được. Phải chờ đến Kepler và Newton, tức là 20 thế kỉ sau, người ta mới biết ông già Apolonius đã từng làm trò chơi với các quỹ đạo chuyển động của các hành tinh! Chính vì bị ám ảnh bởi các đường cônic ngay từ thuở ấu thơ mà Kepler đã nghi ngờ kết luận của những người đi trước về quỹ đạo tròn, và đưa ra giả thuyết quỹ đạo đó là đường ellip, với hai tiêu cự rất gần nhau. Giả thuyết đã được Newton chứng minh, với định luật vạn vật hấp dẫn. “Cái đẹp”, từ chỗ không biết để làm gì, đã tìm thấy một ứng dụng vào loại vĩ đại nhất trong lịch sử, sau hơn hai ngàn năm.

Bác Tôm có lần nói: đối với những người mở đường, đừng hỏi họ đi đâu, khi người ta biết mình đi đâu, người ta không đi được xa ”quand on sait òu va, on va pas loin”. Thật thế, nếu anh định đi đến thành phố Hồ Chí Minh thì chắc là anh cũng chỉ đi đến Cà Mau là cùng. Ngay như cái anh Armstrong, biết mình đi đến Mặt trăng thì cũng chỉ đến đó thôi, rồi về. Còn bác Tôm chẳng biết mình đi đâu, nên bác có thể đi xa hơn, đến tận sao Hỏa, hay những miền đất mới của khoa học. Và chúng ta, dù không đi xa được như bác Tôm, nhưng muốn ngày mai có bát cơm ngon, thì đừng quá sốt ruột nếu hôm nay chưa “ra ngô, ra khoai” gì! Còn nếu muốn “ra ngô, ra khoai” ngay thì có khi cả đời chỉ biết ăn ngô, ăn khoai!

Vậy nhưng, nếu các lý thuyết Toán học đều phải cần đến 2000 năm sau mới có ứng dụng, thì câu hỏi “Ích gì, Toán học?” sẽ dễ nhận được câu trả lời là “Vô ích”! Dù “nhìn xa” đến mấy, người ta cũng khó nhìn đến tận…2000 năm sau!

Nhưng Toán học đi vào thực tiễn với những con đường khác nhau. Có khi 2000 năm, có khi chỉ hai năm, thậm chí chỉ cần hai tháng! Ví dụ nổi tiếng là những hệ mật mã khoá công khai, như hệ mã RSA hay hệ mã dùng  đường cong elliptic. Từ trang giấy của nhà nghiên cứu toán học đến ứng dụng vào cái điện thoại thông minh hay cái thẻ tín dụng gần như là tức thời.

Không chỉ là những ứng dụng dễ nhìn thấy, Toán học giúp cho con người luôn hướng đến sự đơn giản trong tư duy. Tư duy Toán học chính là lối tư duy loại bỏ tất cả những gì không cần thiết, những gì rườm rà. Sự tối giản chính là một tiêu chuẩn của sự tối ưu, và nhiều khi, còn là tiêu chuẩn của cái đẹp. Một lần nữa, Toán học lại rất gần với Nghệ thuật.

Nhà điêu khắc vĩ đại người Pháp Auguste Rodin (1840-1917) đã sáng tạo nên pho tượng bất hủ Le Penseur (Người suy tư), khắc họa hình ảnh một con người mà sự suy nghĩ căng thẳng hiện ra trên từng thớ thịt. Có người hỏi Rodin: “Làm thế nào mà ông có thể tạc nên pho tượng tuyệt vời đến vậy?”. Rodin trả lời: “Đơn giản thôi, tôi lấy một khối đá, và thấy cái gì thừa thì đẽo nó đi!”.  

Nhưng, tại sao sau tất cả những điều đã nói, vẫn tồn tại dai dẳng câu hỏi: “Ích gì, Toán học”?

Người ta hằng ngày dùng điện thoại di động để nói đủ thứ chuyện, đôi khi là để nói về cái sự vô ích của Toán học. Người ta hằng ngày dùng thẻ tín dụng để chuyển tiền, rút tiền. Nhưng sẽ không có điện thoại thông minh, không có thẻ tín dụng nếu không có mật mã khoá công khai, không có Toán học. Vậy nhưng người ta có thể vẫn rất ngại dùng tiền đó đầu tư cho Toán học, vì “Ích gì, Toán học?” Khi dùng điện thoại, khi rút tiền, không ai thấy “tích phân, vi phân, tổ hợp hay số học” trong đó. Nói khác đi, Toán học đã đến mức “trong suốt” đối với người sử dụng nó (tất nhiên chỉ khi đó nó mới được dùng cho tất cả mọi người).

Xem ra, sự “trong suốt” đôi khi lại là trở ngại lớn hơn ngọn núi!

Năm 1674  Mayow tìm thấy trong khí quyển một chất giúp cho sự sống. Năm 1773 Karl Scheele lần đầu tiên cô lập được chất khí đó. Antoine Lavoisier lặp lại thí nghiệm đó của Scheele và gọi đó là “oxygen”. Như vậy, oxy được “tìm ra” khá muộn. Tại sao? Vì nó trong suốt. Người ta hầu như không nhận thấy mình đang cần đến oxy. Và không chịu bỏ tiền ra “cho nó”.

Phải đến khi con người nhìn thấy những hình ảnh sau đây:

Đó là không khí ở Bắc Kinh. Nó không còn trong suốt nữa. Và người ta buộc phải nhìn thấy nó, buộc phải họp nhau ở Rio de Janeiro, ở Kyoto, ở Paris để bàn nhau tìm cách bỏ tiền ra làm cho nó trong suốt trở lại. Giá như người ta nhìn thấy sự cần thiết từ khi nó còn trong suốt!

“Tính” và “Toán”

Một người bạn của bác Tôm, ông F.Hirzebruch, khi trả lời phỏng vấn của các nhà báo, trên cương vị là Chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học châu Âu, đã nói:

“Người ta thường hay nhấn mạnh vai trò của Toán học trong phát triển công nghệ, nhưng tôi nghĩ rằng, sẽ đến lúc công nghệ phát triển để giải phóng con người, cho họ thời gian quay về với thơ ca, âm nhạc và Toán học”.

Phải chăng, Hirzebruch muốn ám chỉ rằng, trong Toán học có hai phần: “tính” và “toán”.

Nếu như tính rất cần thiết cho công nghệ, thì Toán, ngoài chức năng phát triển phần tính ra, còn góp phần làm nên Con Người, cũng giống như âm nhạc, nghệ thuật và thơ ca.

Nhưng có thể 5 năm nữa, trong dịp kỷ niệm 10 năm VIASM, chúng ta lại sẽ phải bàn về câu hỏi : "Ích gì, Toán học?”

Phải chăng đó là câu hỏi vĩnh cửu, song hành với Toán học từ khi nó ra đời? Cũng như câu hỏi tương tự cũng song hành cùng Nghệ thuật và Thơ ca.