Trong thời gian từ ngày 19-23/6/2023, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (Viện NCCCT) phối hợp cùng với Viện Toán học (Viện Hàn lâm KHCN Việt Nam) đã tổ chức Hội nghị về Đại số giao hoán và các mối liên kết với Hình học đại số và Tổ hợp. Hội nghị là nơi thảo luận về một số kết quả mới gần đây cũng như định hướng nghiên cứu tiếp theo với các vấn đề nảy sinh từ đó. Điều này phù hợp và rất cấp thiết với các chuyên ngành Toán học có liên quan đến đề tài hội nghị.

Báo cáo mời và khách mời tham gia hội nghị

Chương trình hội nghị diễn ra trong 5 ngày với 28 báo cáo đến từ Đại học Bách Khoa Hà Nội, Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên, Đại học Missouri (Mỹ), Đại học Dalhousie (Canada), Đại học Barcelona (Tây Ban Nha).v.v.
Hội thảo đã thu hút hơn 50 nhà khoa học đến tham dự từ nhiều trường đại học trong và ngoài nước TS. Trần Nam Trung (Viện Toán học), GS. Hà Huy Tài (Đại học Tulane, Mỹ) , GS. Đào Hải Long (Đại học Kansas, Mỹ), GS. Steven Dale Cutkosky (Mỹ), GS. Marc Chardin (Pháp), .v.v.

Đặc biệt, hội nghị đã tạo cơ hội cho các nghiên cứu viên trẻ có cơ hội được lắng nghe và trao đổi trực tiếp với các chuyên gia trong lĩnh vực đại số giao hoán.

GS.TS. Lê Tuấn Hoa, phát biểu khai mạc Hội nghị

Thay mặt Ban Chương trình, GS. Lê Tuấn Hoa đã có những chia sẻ về nội dung hội nghị và giới thiệu các khách mời trong nước và quốc tế. Giáo sư Tuấn Hoa hy vọng sự hợp tác giữa các nhà khoa học trong lĩnh vực này sẽ tiếp tục phát triển vững mạnh trong những năm sắp tới. Hội nghị có rất nhiều bài giảng xuất sắc, nhưng do khả năng hạn chế và thời lượng tin bài có hạn, dưới đây chúng tôi xin phép chỉ tập trung đưa tin về một số ít bài giảng. Thứ tự của các bài giảng dựa trên thứ tự xuất hiện trong chương trình hội nghị.

Mở đầu hội nghị, GS. Bernd Ulrich (ĐH Purdue) báo cáo về lời giải cho của một lớp bài toán tìm phương trình định nghĩa của ảnh và đồ thị của một ánh xạ giữa các không gian xạ ảnh. Bài toán tìm phương trình định nghĩa từ tham số hóa (implicitization problem) là một bài toán căn bản trong hình học đại số. Sử dụng những công cụ mới phát triển như đối ngẫu Jouanolou cho một lớp vành Gorenstein mở rộng, GS. Ulrich và các cộng sự đã giải quyết được một lớp trường hợp riêng mới của bài toán này.

GS. Bernd Ulrich (Đại học Purdue, Hoa Kỳ) phát biểu tại hội nghị về lời giải cho một lớp các bài toán tìm phương trình định nghĩa của ảnh và đồ thị của một ánh xạ giữa các không gian xạ ảnh. 

Nhân dịp sinh nhật 70 tuổi của GS. Ngô Việt Trung, GS. Hà Huy Tài (ĐH Tulane) đã trình bày một bài giảng về chỉ số chính quy của họ phân bậc các iđêan thuần nhất trong một vành đa thức. Bài giảng tập trung vào các đóng góp của GS. Ngô Việt Trung trong việc nghiên cứu chỉ số chính quy của lũy thừa của một iđêan và các công trình chịu ảnh hưởng của các nghiên cứu tiên phong của GS. Trung cùng các cộng sự như J. Herzog, Cutkosky, và các chuyên gia khác như Kodiyalam, Bertram, Ein, Lazarsfeld,.... Nghiên cứu về chỉ số chính quy của lũy thừa của iđêan đã phát triển thành một hướng nghiên cứu quan trọng, kết hợp nhiều công cụ của đại số giao hoán, hình học đại số, lý thuyết đồ thị, và vẫn còn nhiều bài toán mở quan trọng trong hướng nghiên cứu thú vị này.

GS. Hà Huy Tài (Đại học Tulane, Hoa Kỳ) trình bày báo cáo mời tại hội nghị về chỉ số chính quy của họ phân bậc các iđêan thuần nhất. 

Nghiên cứu dáng điệu của các bất biến dưới tác động của chuyển phẳng là một phương pháp kinh điển được Grothendieck khai sáng và có ảnh hưởng sâu rộng trong hình học đại số. Trong bài giảng của GS. Lê Thanh Nhàn, hướng nghiên cứu này tiếp tục được đào sâu với trọng tâm là dáng điệu của tính nâng được của cấu trúc môđun và dáng điệu của các iđêan nguyên tố gắn kết (attached) của đối đồng điều địa phương.

GS. Lê Thanh Nhàn (Bộ Giáo dục Đào tạo) trình bày nghiên cứu về dáng điệu qua chuyển phẳng của các môđun đối đồng điều địa phương Artin. 

Tỉ lệ của một đại số phân bậc trên một trường K đo độ sai lệch của đại số đó khỏi tính chất Koszul. Các K-đại số Koszul chính là các đại số với tỉ lệ bằng 1. Các đại số Gorenstein tổng quát với bậc đế bằng 3 luôn là Koszul. Trong bài giảng của mình, GS. Maria E. Rossi trình bày một tổng quát hóa đẹp đẽ của kết quả nói trên, theo đó các đại số Gorenstein tổng quát với bậc đế s ít nhất 3 có tỉ lệ đúng bằng phần nguyên dưới của s/2. Các kết quả mới của GS. Rossi cũng cung cấp thêm những thông tin thú vị về giải tự do của các đại số Gorenstein tổng quát.

GS. Maria Evelina Rossi (Đại học Genoa, Ý) trình bày báo cáo về tỉ lệ (rate) của các đại số Gorenstein tổng quát trên một trường. 

Tại hội nghị này, GS. Marc Chardin (ĐH Sorbonne) đọc bài giảng về giá của các môđun Tor và đối đồng điều địa phương đa phân bậc. Các kết quả nghiên cứu mới của GS. Chardin cung cấp những thông tin thú vị về giải tự do tuyến tính của các môđun chặt cụt và chỉ số chính quy của lũy thừa của các iđêan.

GS. Marc Chardin (Đại học Sorbonne, Pháp) trình bày báo cáo về các môđun xoắn đa phân bậc chuẩn và các môđun đối đồng điều địa phương. 

Số bội Hilbert-Kunz, định nghĩa dựa trên đồng cấu Frobenius, là một bất biến quan trọng để nghiên cứu các vành đặc số dương. Số bội Hilbert-Kunz đóng vai trò tương tự như số bội Hilbert-Samuel của một vành địa phương. Tại hội nghị này, GS. Jugal Verma (Viện Công nghệ Ấn Độ tại Mumbai) trình bày bài giảng về số bội Hilbert-Kunz của lũy thừa của một iđêan m-nguyên sơ. Ilya Smirnov gần đây đưa ra một giả thuyết quan trọng liên hệ số bội Hilbert-Kunz của lũy thừa của một iđêan m-nguyên sơ với các hệ số Hilbert của các lũy thừa Frobenius của iđêan đó. Bài giảng của GS. Verma cung cấp cho người nghe một bối cảnh rộng lớn và những kết quả vừa hấp dẫn, vừa đáng ngạc nhiên liên quan đến giả thuyết Smirnov. Bài giảng kết thúc với lời giải cho một trường hợp riêng không tầm thường của giả thuyết Smirnov.

GS. Jugal Verma (Viện Công nghệ Ấn Độ tại Mumbai) trình bày báo cáo về một giả thuyết của Ilya Smirnov về số bội Hilbert-Kunz của lũy thừa của một iđêan. 

Bên cạnh các báo cáo chuyên môn, hội nghị cũng tổ chức các buổi tiệc trà giữa giờ để tạo cơ hội cho các nhà khoa học gặp gỡ, tìm kiếm cơ hội hợp tác và trao đổi học thuật.

Các đại biểu trao đổi trong giờ giải lao