Ngày 13-14/7/2026, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) tổ chức hội thảo "Các khía cạnh của Đại số giao hoán - Facets of Commutative Algebra (FoCA 2026)" tại Hà Nội. Chương trình quy tụ 55 nhà nghiên cứu, giảng viên và học viên đến từ nhiều trường đại học và viện nghiên cứu trong nước, cùng các nhà toán học đang công tác tại Hoa Kỳ, Đức, Ấn Độ, Trung Quốc.

Nhiều nhà nghiên cứu đã đến hội thảo để thảo luận về đại số giao hoán.

Trong hai ngày làm việc, Hội thảo đã được nghe 12 báo cáo chuyên đề, phản ánh nhiều hướng nghiên cứu hiện đại của Đại số giao hoán, Đại số giao hoán tổ hợp, Hình học đại số và Lý thuyết kỳ dị. Các báo cáo tập trung vào cấu trúc và các bất biến của vành, iđêan và môđun; lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức và các iđêan gắn với đồ thị; các bất biến đồng điều; vi phân Kähler và đại số của phép nổ Nash bậc cao; cùng tính ổn định của các bất biến đồng điều dưới tác động của nhiễu và hiện tượng hữu hạn sinh dưới tác động của nhóm đối xứng vô hạn lên các monoid. Điểm chung của các nghiên cứu là vận dụng các công cụ đại số, hình học và tổ hợp để mô tả, phân loại và làm sáng tỏ cấu trúc của các đối tượng toán học. Tham gia Ban Chương trình của Hội thảo là hai nhà khoa học thuộc Chương trình Học giả hội tụ hiện đang làm việc tại VIASM gồm: GS. Đào Hải Long (Đại học Kansas, Hoa Kỳ); GS. Hà Huy Tài (Đại học Tulane, Hoa Kỳ).

GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn (Viện Toán học, VAST) với báo cáo “Local rings with zero-dimensional formal fibers and annihilators of local cohomology”.

Mở đầu Hội thảo, GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn (Viện Toán học, VAST) trình bày nghiên cứu về việc phân loại các vành địa phương Noether có thớ hình thức không chiều. Báo cáo tập trung vào ba lớp vành địa phương liên quan đến điều kiện AB-5* của Grothendieck, bằng cách khai thác tính tương thích của các iđêan triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương đối với phép đầy đủ hóa, đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa các iđêan của vành và các iđêan của vành đầy đủ. Kết quả góp phần làm sáng tỏ cấu trúc của các vành địa phương và thớ hình thức của chúng.

Tiếp đó, PGS.TS. Nguyễn Công Minh (Đại học Bách khoa Hà Nội) trình bày nghiên cứu về chỉ số postulation, là chỉ số xác định thời điểm hàm Hilbert bắt đầu ổn định và trùng với đa thức Hilbert, của các lũy thừa hình thức của một iđêan đơn thức. Báo cáo tập trung khảo sát sự biến thiên của chỉ số này theo số mũ của lũy thừa hình thức đối với một số lớp iđêan, qua đó góp phần làm rõ dáng điệu tiệm cận của chỉ số postulation. Bên cạnh các kết quả đạt được, báo cáo cũng đề cập đến một số câu hỏi mở liên quan đến sự biến thiên của chỉ số này. 

PGS.TS. Nguyễn Công Minh (Đại học Bách Khoa Hà Nội) trình bày báo cáo “On the postulation number of symbolic powers of a monomial ideal”.

Một trong những hướng giao thoa nổi bật của Đại số giao hoán là Hình học đại số, đặc biệt trong nghiên cứu các điểm kỳ dị — những vị trí mà đối tượng hình học không còn trơn. Việc làm rõ cấu trúc của các điểm kỳ dị có vai trò quan trọng trong mô tả, phân loại và nghiên cứu các đối tượng hình học đại số.

Trong báo cáo “Higher Kähler differentials and higher Jacobian ideals”, PGS.TS. Lê Quý Thường (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) trình bày phương pháp nghiên cứu các điểm kỳ dị thông qua vi phân Kähler bậc cao, iđêan Jacobian bậc cao và phép nổ Nash bậc cao. Báo cáo chỉ ra cách xác định tâm của phép nổ Nash bằng một iđêan Fitting thích hợp, đồng thời khảo sát tính bất biến dưới tương đương tiếp xúc và đưa ra một số tính toán đối với các điểm kỳ dị của đường cong phẳng. Những kết quả này cung cấp thêm các công cụ đại số hiệu quả cho việc nghiên cứu cấu trúc của các điểm kỳ dị.

PGS.TS. Lê Quý Thường (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) trình bày báo cáo “Higher Kähler differentials and higher Jacobian ideals”.

Tiếp nối chủ đề Hình học đại số và Lý thuyết kỳ dị, TS. Nguyễn Hồng Đức (Đại học Thăng Long) trình bày báo cáo “Mather–Yau type theorem for higher Nash blowup algebras”. Báo cáo chứng minh rằng kiểu đẳng cấu của vành địa phương của một kỳ dị siêu mặt trên một trường tùy ý được xác định hoàn toàn bởi các đại số của phép nổ Nash bậc cao. Kết quả này mở rộng định lý Mather–Yau cổ điển, vốn khẳng định rằng vành địa phương của một kỳ dị siêu mặt phức cô lập được xác định bởi đại số Tjurina. Một kết quả quan trọng của nghiên cứu là chứng minh rằng các đại số của phép nổ Nash bậc cao gắn với một hệ phần tử bất kỳ trong một vành giải tích hoặc vành hình học là bất biến dưới quan hệ tương đương tiếp xúc.

TS. Nguyễn Hồng Đức (Trường Đại học Thăng Long)  trình bày báo cáo “Mather-Yau type theorem for higher Nash blowup algebras”

Để nghiên cứu và phân loại các vành và môđun, một hướng tiếp cận quan trọng là xác định và tính toán các bất biến phản ánh cấu trúc đồng điều của chúng. Những bất biến như chiều xạ ảnh, độ sâu và chính quy Castelnuovo–Mumford cung cấp các tiêu chuẩn hữu hiệu để phân biệt các lớp vành, môđun và iđêan, đồng thời giúp nhận diện những tính chất quan trọng như tính Cohen–Macaulay, tính Cohen–Macaulay dãy, tính Cohen–Macaulay suy rộng hay tính Buchsbaum. 

Hướng nghiên cứu này được PGS.TS. Đỗ Trọng Hoàng (Đại học Bách khoa Hà Nội) trình bày trong báo cáo “Homological invariants of ideals associated with Ferrers diagrams”. Báo cáo khai thác mối liên hệ sâu sắc giữa hình học tổ hợp của các biểu đồ Ferrers và cấu trúc đồng điều của những iđêan đơn thức liên quan. Cụ thể, tác giả trình bày các kết quả về iđêan tableau, iđêan tableau lệch của đồ thị Ferrers, đồng thời đưa ra các công thức tính chiều xạ ảnh, độ sâu và chính quy Castelnuovo–Mumford. Báo cáo cũng đặc trưng đầy đủ tính không trộn lẫn và tính Cohen–Macaulay dãy của các lớp iđêan này, từ đó thu được những ứng dụng trong việc xác định tính Cohen–Macaulay, tính Cohen–Macaulay suy rộng và tính Buchsbaum. Các kết quả cho thấy cấu trúc tổ hợp có thể được sử dụng hiệu quả để làm sáng tỏ những tính chất đại số và đồng điều của các iđêan đơn thức.

Báo cáo “Homological invariants of ideals associated with Ferrers diagrams” của PGS.TS. Đỗ Trọng Hoàng (Đại học Bách Khoa Hà Nội) 

Cùng chủ đề về các bất biến đồng điều, TS. Văn Đức Trung (Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế) trình bày báo cáo “Stability of Bass and Betti numbers under ideal perturbations”. Báo cáo nghiên cứu tính ổn định của các số Bass và số Betti khi một dãy J-lọc chính quy trong môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether được thay đổi bởi những nhiễu đủ nhỏ. Nhóm tác giả chứng minh rằng, khi mức nhiễu đủ cao, toàn bộ các số Bass và số Betti của môđun thương tương ứng được bảo toàn, đồng thời đưa ra một cận tường minh theo các số Artin–Rees và độ dài Loewy. Từ đó, các bất biến quan trọng khác như chiều xạ ảnh, chiều nội xạ và độ sâu cũng không thay đổi dưới những phép nhiễu đủ nhỏ.

Báo cáo của TS. Văn Đức Trung chỉ ra rằng nhiều bất biến quan trọng vẫn được giữ nguyên khi tác động bởi các nhiễu đủ nhỏ.

Nhiều thảo luận sôi nổi đã được mở ra sau phiên báo cáo.

Một hướng nghiên cứu nổi bật khác của Hội thảo là sự giao thoa giữa Đại số giao hoán và Tổ hợp, trong đó các cấu trúc đồ thị được chuyển thành các iđêan đơn thức để nghiên cứu bằng những công cụ đại số. Cách tiếp cận này không chỉ giúp làm sáng tỏ các bất biến của iđêan mà còn cho thấy sự chi phối của cấu trúc tổ hợp đối với những tính chất đại số tương ứng. 

TS. Nguyễn Thu Hằng (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên) với báo cáo “Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs”

Trong báo cáo “Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs”, TS. Nguyễn Thu Hằng (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên) trình bày phương pháp sử dụng các đồ thị con t-chấp nhận được để xác định chính quy Castelnuovo–Mumford của lũy thừa hình thức thứ t của iđêan phủ. Đối với các đồ thị đơn chu trình, tác giả thiết lập các công thức cụ thể biểu diễn chính quy của iđêan phủ và các lũy thừa hình thức của nó theo lực lượng lớn nhất của một phủ đỉnh tối tiểu, đồng thời chỉ ra một số trường hợp ngoại lệ phụ thuộc vào độ dài và cấu trúc của chu trình duy nhất. Các kết quả làm rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa cấu trúc tổ hợp của đồ thị và các bất biến đồng điều của những iđêan gắn với đồ thị.

Trong nhóm chủ đề “Đại số giao hoán tổ hợp”, TS. Hà Thị Thu Hiền (Trường Đại học Ngoại thương) trình bày báo cáo “Associated primes of powers of closed neighborhood ideals of graphs”. Báo cáo nghiên cứu mối liên hệ giữa cấu trúc của một đồ thị và các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa các iđêan lân cận đóng tương ứng. Cụ thể, nhóm tác giả chứng minh rằng nếu iđêan thuần nhất cực đại là một iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa thứ t, thì đường kính của đồ thị không vượt quá 7t-8, đồng thời chỉ ra rằng cận này là tối ưu. Như một hệ quả, nhóm tác giả thu được sự phân loại đầy đủ các đồ thị liên thông G sao cho iđêan thuần nhất cực đại là một iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa thứ hai của iđêan lân cận đóng của G.

TS. Hà Thị Thu Hiền (Trường Đại học Ngoại thương) trình bày báo cáo “Associated primes of powers of closed neighborhood ideals of graphs”.

PGS.TS. Trần Nam Trung (Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội) tiếp nối với báo cáo “Depth and regularity of powers of edge ideals of edge-weighted trees”.

Trong báo cáo “Depth and regularity of powers of edge ideals of edge-weighted trees”, PGS.TS. Trần Nam Trung trình bày nghiên cứu về các iđêan cạnh gắn với cây có trọng số, trong đó mỗi cạnh được gán một số nguyên dương và sinh ra một lũy thừa tương ứng của đơn thức cạnh. Báo cáo tập trung vào lớp cây có trọng số tăng, nghĩa là trọng số các cạnh không giảm dọc theo mỗi đường đi từ một lá đến một đỉnh gốc. Đối với lớp đồ thị này, nhóm tác giả xác định giá trị tiệm cận của hàm độ sâu và đưa ra một cận tối ưu cho chỉ số ổn định của nó. Trong trường hợp trọng số tăng nghiêm ngặt, tác giả còn mô tả giải tự do tối tiểu của iđêan cạnh và thiết lập công thức chính xác cho chính quy Castelnuovo–Mumford của mọi lũy thừa của iđêan. Các kết quả góp phần mở rộng việc nghiên cứu các bất biến đồng điều của iđêan cạnh từ đồ thị thông thường sang đồ thị có trọng số.

Chủ đề “Đại số giao hoán tổ hợp” được tiếp nối với báo cáo “Multiplicity of -1 as a root of independence polynomials of graphs” của TS. Châu Chí Trung (Chennai Mathematical Institute, Ấn Độ). Khác với các báo cáo trước, nghiên cứu này xuất phát từ đa thức độc lập của đồ thị và tập trung khảo sát bội của -1 với tư cách là một nghiệm của đa thức này. Được thúc đẩy bởi kết quả gần đây cho thấy bội đó bằng số đối của a-bất biến của iđêan cạnh tương ứng, nhóm tác giả nghiên cứu bất biến này dưới góc độ lý thuyết đồ thị. Các kết quả thu được bao gồm một đặc trưng cho hiện tượng co rút được của phức độc lập của cây, một tiêu chuẩn mới cho tính lõm logarit của đa thức độc lập, cùng những thông tin mới về các cặp bậc có thể có của tử số và mẫu số trong chuỗi Hilbert của iđêan cạnh.

TS. Châu Chí Trung (Chennai Mathematical Institute, Ấn Độ) trình bày báo cáo “Multiplicity of -1 as a root of independence polynomials of graphs”.

Bên cạnh những hướng nghiên cứu truyền thống, Hội thảo còn giới thiệu các chủ đề mới, thể hiện sự mở rộng và giao thoa của Đại số giao hoán với lý thuyết lược đồ nhóm, Đại số vi phân và các bài toán về tính đối xứng trong không gian vô hạn chiều. Những nghiên cứu này cho thấy các phương pháp đại số không chỉ được sử dụng để khảo sát vành, iđêan và môđun, mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các nhóm Galois vi phân, các cấu trúc bất biến dưới tác động nhóm và những hiện tượng hữu hạn sinh trong bối cảnh vô hạn chiều.

Báo cáo “Prudent affine group schemes over a complete discrete valuation ring” của TS. Đào Văn Thịnh (Viện Toán học, VAST)

Trong báo cáo “Prudent affine group schemes over a complete discrete valuation ring”, TS. Đào Văn Thịnh (Viện Toán học, VAST) nghiên cứu các lược đồ nhóm affine trên vành định giá rời rạc đầy đủ. Một lược đồ nhóm affine được xác định bởi vành tọa độ của nó, vốn mang cấu trúc của một đại số Hopf giao hoán; vì vậy, tính xạ ảnh của vành tọa độ trên vành cơ sở có ý nghĩa đặc biệt đối với cấu trúc của lược đồ nhóm. Báo cáo tập trung vào khái niệm prudence, một điều kiện tương đương có thể được kiểm tra thông qua các thương hữu hạn của vành cơ sở, và trình bày cách kiểm chứng tính chất này trong bối cảnh Lý thuyết Galois vi phân. Cụ thể, nhóm tác giả khảo sát liệu lược đồ nhóm Galois vi phân phụ thuộc tham số, gắn với một liên kết hình thức không chính quy trên R((x)), có thỏa mãn tính prudence hay không. Trường hợp hạng một đã được giải quyết hoàn chỉnh, trong khi trường hợp hạng cao vẫn còn đặt ra nhiều bài toán mở.

Khép lại hai ngày làm việc của Hội thảo là báo cáo “Equivariant finite generation of symmetric monoids” của nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Viên (Universität Osnabrück, Đức). Báo cáo tập trung vào các monoid bất biến dưới tác động của nhóm đối xứng vô hạn. Tác giả nghiên cứu mối liên hệ giữa tính hữu hạn sinh đẳng biến của các monoid đối xứng trong không gian vô hạn chiều và sự ổn định của các dãy monoid đối xứng hữu hạn chiều tương ứng. Báo cáo cũng khảo sát tính hữu hạn sinh trong mối liên hệ với đối ngẫu, đồng thời phân tích ảnh hưởng của sự tăng trưởng của các cơ sở Hilbert đến hành vi tiệm cận của một số bất biến đại số trong các dãy đại số monoid. Các kết quả góp phần làm sáng tỏ những hiện tượng hữu hạn và ổn định trong các cấu trúc đại số có đối xứng vô hạn.

Chương trình kết thúc với báo cáo của nghiên cứu sinh trẻ Nguyễn Thị Viên.

Bên cạnh các báo cáo chuyên môn, Hội thảo dành nhiều thời gian cho các phiên hỏi đáp và thảo luận trực tiếp giữa báo cáo viên với người tham dự. Theo định hướng của chương trình, Hội thảo đặc biệt khuyến khích sự tham gia của các nhà nghiên cứu sau tiến sĩ, nghiên cứu sinh và các nhà khoa học trẻ, tạo điều kiện để họ trình bày những kết quả nghiên cứu mới, trao đổi học thuật với các nhà toán học giàu kinh nghiệm, đồng thời xây dựng các kết nối chuyên môn và tìm kiếm cơ hội hợp tác trong tương lai.

Hội thảo có thành phần tham dự đa dạng, góp phần mở rộng mạng lưới hợp tác quốc tế trong lĩnh vực Đại số giao hoán.

Thông qua các báo cáo chuyên đề và hoạt động trao đổi học thuật, FoCA 2026 góp phần cập nhật những hướng nghiên cứu mới trong Đại số giao hoán và các lĩnh vực liên quan, đồng thời tạo diễn đàn kết nối các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Hội thảo cũng mở ra cơ hội để các nhà khoa học trẻ xây dựng mạng lưới chuyên môn, phát triển các chương trình hợp tác và hình thành những dự án nghiên cứu chung trong tương lai, qua đó góp phần thúc đẩy sự phát triển của cộng đồng Đại số giao hoán tại Việt Nam.