Trong thời gian 01-12/7/2024, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) phối hợp với Viện Toán học Clay (Clay Math Institute), đồng tổ chức Trường hè VIASM-CMI về Biểu diễn Galois và Luật tương hỗ. Trường hè cũng nhận được sự tài trợ của Phòng nghiên cứu quốc tế Việt - Pháp về Toán học và ứng dụng (IRL FVMA) và Quỹ Lý thuyết số (NTF).

Tham gia sự kiện có hơn 80 nhà khoa học và các bạn học viên thuộc lĩnh vực Giải tích, Hình học, Tôpô, của các trường, viện trong và ngoài nước, trong đó có 40 học viên nước ngoài đến từ nhiều quốc gia trên thế giới bao gồm Indonesia, Mỹ, Pháp, Singapore, Hàn Quốc, Hồng Kông, Trung Quốc, Malaysia, Đài Loan, Canada....

Ban tổ chức đã tài trợ cho 29 học viên đến từ các địa phương ngoài Hà Nội và quốc tế tham dự Trường hè.

Trường hè bao gồm 8 chuyên đề và 4 bài giảng nâng cao được báo cáo bởi các chuyên gia hàng đầu trong chương trình Langlands: GS. Ariane Mezard (ENS Paris, Pháp) GS. Patrick Allen (Đại học McGill, Canada), GS. Richard Taylor (Đại học Stanford, Mỹ), TS. Kieu Hieu Nguyen (Viện Toán học Marseille, Pháp), GS. David Savitt (Đại học Johns Hopkins, Mỹ), GS. Tony Feng (Đại học California, Mỹ), GS. Sug Woo Shin (Đại học California, Mỹ), GS. David Hansen (NUS, Singapore) và GS. Teruhisa Koshikawa (Đại học Kyoto, Nhật Bản). Đây đều là các nhà Toán học nổi tiếng trên thế giới trong lĩnh vực Lý thuyết số, biểu diễn Galois và chương trình Langlands. Trong đó đặc biệt có GS. Richard Taylor là một trong những kiến trúc sư trưởng của những tiến bộ vượt bậc trong Lý thuyết số đại số trong ba thập kỷ qua, ông từng là cộng sự của GS. Andrew Wiles giải quyết bài toán Fermat, cùng với Robert Langlands nhận giải thưởng Shaw năm 2007 và giải thưởng Breakthrough Prize in Mathematics năm 2015.

Các bài giảng của Trường hè tập trung vào nhiều vấn đề thời sự của Lý thuyết số, bao gồm nhiều chuyên đề mang tính kết nối và bổ trợ lẫn nhau:

GS. Richard Taylor giảng bài

Chuyên đề về giả thuyết Langlands được giảng bởi GS Taylor giới thiệu tổng quan về các dạng tự đẳng cấu, tương ứng Langlands địa phương và giả thuyết tương hỗ Langlands và giả thuyết Fontaine-Mazur.
GS Taylor cũng trình bày về Chuyên đề về tính tự đẳng cấu tiềm năng được giảng bởi, trình bày về phương pháp (được phát minh bởi chính GS Taylor) sử dụng các định lý nâng tính tự đẳng cấu cùng với các lập luận trong hình học Diophantine để chứng minh tính tự đẳng cấu tiềm năng của các đường cong elliptic trên trường toàn thực, từ đó dẫn đến các tính chất giải tích tốt của các L-hàm gắn với đường cong elliptic.

Gs. Patrick Allen trình bày bài giảng về biểu diễn Galois và lý thuyết biến dạng của chúng

Chuyên đề về biểu diễn Galois và lý thuyết biến dạng của chúng được giảng bởi GS Allen giới thiệu chi tiết về các tính chất căn bản của biểu diễn Galois, và các tính toán quan trọng bên số học của của chương trình Langlands.

GS. Ariane Mezard giảng bài tại Trường hè

Chuyên đề về lý thuyết Hodge p-adic được giảng bởi GS Mezard giới thiệu tổng quan về phân loại các biểu diễn p-adic của nhóm Galois của các trường p-adic được phát triển bởi trường phái của Fontaine, một lý thuyết đóng vai trò then chốt trong các cách tiếp cận hiện đại tới giả thuyết tương hỗ Langlands.

TS. Nguyễn Kiều Hiếu giảng bài tại Trường hè

Chuyên đề về các biểu diễn Galois tự đẳng cấu và lý thuyết số học của các dạng tự đẳng cấu được giảng bởi TS Nguyễn Kiều Hiếu, giới thiệu về tính chất đồng dư của các dạng tự đẳng cấu đại số và cách xây dựng các biểu diễn Galois ứng với chúng.

GS. David Savitt giảng bài tại Trường hè

-Chuyên đề về các định lý nâng tính tự đẳng cấu được giảng bởi GS Savitt tổng hợp lại các chuyên đề trước để giới thiệu về phương pháp vá Taylor-Wiles, là phương pháp mạnh nhất hiện tại để chứng minh tính tự đẳng cấu của các biểu diễn Galois hình học.

Những bài giảng không chỉ cung cấp kiến thức nhập môn mà còn dẫn dắt học viên đến những chủ đề nghiên cứu thời sự nhất, đồng thời đề cập đến nhiều bài toán mở thú vị. Sự đa dạng của các bài giảng hy vọng sẽ đáp ứng nhu cầu của đông đảo học viên và giảng viên tham gia, mang lại nhiều bài học bổ ích và cơ hội tìm được đối tác phù hợp để thảo luận và trao đổi các ý tưởng toán học. Trường đã được các học viên đón nhận và đánh giá tính cực.
Bên cạnh các bài giảng chuyên đề mang tính nhập môn, trong hoạt động trường hè còn bao gồm một workshop cuối tuần với sự tham gia của những chuyên gia hàng đầu về lý thuyết số:

GS Tony Feng trình bày về tính hàm tử modulo p trong chương trình Langlands

GS Sug Woo Shin trình bày về các vấn đề lý thuyết nhóm liên quan đến giả thuyết tương hỗ Langlands cho các nhóm tổng quát hơn GL_n.

GS David Hansen trình bày về những tiến bộ gần đây trong chương trình Langlands phạm trù.

GS.Teruhisa Koshikawa trình bày về các khía cạnh hình học của không gian các tham số L xuất hiện ở một bên của chương trình Langlands phạm trù.

Những bài trình bày trong workshop đã giới thiệu cho học viên về nhiều hướng đi thời sự nhất hiện tại trong lý thuyết số.

Một số hình ảnh tiêu biểu tại Trường hè: